22.2.1 直接开平方法（精选4篇）九年级数学教案

98e范文网时间：2024-12-06

22.2.1 直接开平方法（精选4篇）

22.2.1 直接开平方法篇1

　　教学内容

　　运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程.

　　教学目标

　　理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题.

　　提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程.

　　重难点关键

　　1.重点：运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想.

　　2.难点与关键：通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程.

　　教学过程

　　一、复习引入

　　学生活动：请同学们完成下列各题

　　问题1.填空

　　（1）x2-8x+______=（x-______）2；（2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x2+px+_____=（x+______）2.

　　问题2.如图，在△abc中，∠b=90°，点p从点b开始，沿ab边向点b以1cm/s的速度移动，点q从点b开始，沿bc边向点c以2cm/s的速度移动，如果ab=6cm，bc=12cm，p、q都从b点同时出发，几秒后△pbq的面积等于8cm2？

　　老师点评：

　　问题1：根据完全平方公式可得：（1）16 4；（2）4 2；（3）（）2 .

　　问题2：设x秒后△pbq的面积等于8cm2

　　则pb=x，bq=2x

　　依题意，得： x·2x=8

　　x2=8

　　根据平方根的意义，得x=±2

　　即x1=2 ，x2=-2

　　可以验证，2 和-2 都是方程 x·2x=8的两根，但是移动时间不能是负值.

　　所以2 秒后△pbq的面积等于8cm2.

　　二、探索新知

　　上面我们已经讲了x2=8，根据平方根的意义，直接开平方得x=±2 ，如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？

　　老师点评：回答是肯定的，把2t+1变为上面的x，那么2t+1=±2

　　即2t+1=2 ，2t+1=-2

　　方程的两根为t1= - ，t2=- -

　　例1：解方程：x2+4x+4=1

　　分析：很清楚，x2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（x+2）2=1.

　　解：由已知，得：（x+2）2=1

　　直接开平方，得：x+2=±1

　　即x+2=1，x+2=-1

　　所以，方程的两根x1=-1，x2=-3

　　例2.市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率.

　　分析：设每年人均住房面积增长率为x.一年后人均住房面积就应该是10+10x=10（1+x）；二年后人均住房面积就应该是10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）2

　　解：设每年人均住房面积增长率为x，

　　则：10（1+x）2=14.4

　　（1+x）2=1.44

　　直接开平方，得1+x=±1.2

　　即1+x=1.2，1+x=-1.2

　　所以，方程的两根是x1=0.2=20%，x2=-2.2

　　因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2=-2.2应舍去.

　　所以，每年人均住房面积增长率应为20%.

　　解一元二次方程，它们的共同特点是什么？

　　共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程.我们把这种思想称为“降次转化思想”.

　　三、应用拓展

　　例3.某公司一月份营业额为1万元，第一季度总营业额为3.31万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？

　　分析：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x，那么二月份的营业额就应该是（1+x），三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的，应是（1+x）2.

　　解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x.

　　那么1+（1+x）+（1+x）2=3.31

　　把（1+x）当成一个数，配方得：

　　（1+x+ ）2=2.56，即（x+ ）2=2.56

　　x+ =±1.6，即x+ =1.6，x+ =-1.6

　　方程的根为x1=10%，x2=-3.1

　　因为增长率为正数，

　　所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%.

　　四、归纳小结

　　本节课应掌握：

　　由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=± 转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=± ，达到降次转化之目的.

　　五、作业：

　　一、选择题

　　1.若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（）.

　　a.p=4，q=2 b.p=4，q=-2 c.p=-4，q=2 d.p=-4，q=-2

　　2.方程3x2+9=0的根为（）.

　　a.3 b.-3 c.±3 d.无实数根

　　3.用配方法解方程x2- x+1=0正确的解法是（）.

　　a.（x- ）2= ，x= ±

　　b.（x- ）2=- ，原方程无解

　　c.（x- ）2= ，x1= + ，x2=

　　d.（x- ）2=1，x1= ，x2=-

　　二、填空题

　　1.若8x2-16=0，则x的值是_________.

　　2.如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________.

　　3.如果a、b为实数，满足 +b2-12b+36=0，那么ab的值是_______.

　　三、综合提高题

　　1.解关于x的方程（x+m）2=n.

　　2.某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边*墙（墙长25m），另三边用木栏围成，木栏长40m.

　　（1）鸡场的面积能达到180m2吗？能达到200m吗？

　　（2）鸡场的面积能达到210m2吗？

　　3.在一次手工制作中，某同学准备了一根长4米的铁丝，由于需要，现在要制成一个矩形方框，并且要使面积尽可能大，你能帮助这名同学制成方框，并说明你制作的理由吗？

　　答案:

　　一、1.b 2.d 3.b

　　二、1.± 2.9或-3 3.-8

　　三、

　　1.当n≥0时，x+m=± ，x1= -m，x2=- -m.当n<0时，无解

　　（1）都能达到.设宽为x，则长为40-2x，

　　依题意，得：x（40-2x）=180

　　整理，得：x2-20x+90=0，x1=10+ ，x2=10- ；

　　同理x（40-2x）=200，x1=x2=10，长为40-20=20.

　　（2）不能达到.同理x（40-2x）=210，x2-20x+105=0，

　　b2-4ac=400-410=-10<0，无解，即不能达到.

　　3.因要制矩形方框，面积尽可能大，所以，应是正方形，即每边长为1米的正方形.

22.2.1 直接开平方法篇2

　　教学目标

　　1. 理解直接开平方法与平方根运算的联系，学会用直接开平方法解特殊的一元二次方程；培养基本的运算能力；

　　2.知道形如（px+q）2＝m（p≠0，m≥0）的一元二次方程都可以用直接开平方法解.培养观察、比较、分析、综合等能力，会应用学过的知识去解决新的问题；

　　3. 鼓励学生积极主动的参与“教”与“学”的整个过程，体会解方程过程中所蕴涵的化归思想、整体思想和降次策略.

　　教学重点及难点

　　1、用直接开平方法解一元二次方程；

　　2、理解直接开平方法中的整体思想，懂得（px+q）2＝m（p≠0，m≥0）的一元二次方程都可以用直接开平方法解

　　教学过程设计

　　一、情景引入，理解方法

　　看一看：特殊奥林匹克运动会的会标

　　想一想：

　　在XX年的特殊奥林匹克运动会的筹备过程中制玩具节举办的更加隆重，xx学校将在运动场搭建一个舞台，其中一个方案是：在运动场正中间搭建一个面积为144平方米的正方形舞台，那么请问这个舞台的各边边长将会是多少米呢？

　　解：由题意得： x2=144

　　根据平方根的意义得：x=± 12

　　∴原方程的解是：x1=12 , x2=-12

　　∵边长不能为负数

　　∴x＝12

　　了解方法：

　　上述解方程的方法叫做直接开平方法.通过直接将某一个数开平方，解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.

　　【说明】用开平方法解形如ax2+c=0（a≠0）的方程有三种可能性，学生归纳是难点，教师要在学生具体感知的基础上进行具体概括.通过两个阶段联系后的探究意在培养学生探究一般规律的能力..

　　第三阶段：怎样解方程（1+x）2=144?

　　请四人学习小组共同研究，并给出一个解题过程.可以参考课本或其他资料.小组长负责清楚的记录解题过程.

　　第四阶段：众人齐心当考官！

　　请各四人小组试着编一个类似于(x+1)2=144 这样能用直接开平方法解的一元二次方程.

　　1、分析学生所编的方程.

　　2、从学生的编题中挑出一个方程给学生练习.

　　3、出示：思考：下列方程又该如何应用直接开平方法求解呢？

　　4（x＋1）2－144＝0

　　归纳：形如（px+q）2＝m（p≠0，m≥0）的一元二次方程都可以用直接开平方法解.

　　【说明】在第三、四阶段的讲解和练习中教师需让学生体会到其中蕴涵了整体思想.

　　三、巩固方法，提高能力

　　请大家帮帮忙，挑一挑，拣一拣，下列一元二次方程中，哪些更适宜用直接开平方法来解呢？

　　⑴ x2=3 ⑵ 3t2-t=0

　　⑶ 3y2=27 ⑷ (y-1)2-4=0

　　⑸ (2x+3)2=6 ⑹ x2=36x

　　四、自主小结

　　今天我们学会了什么方法解一元二次方程？适合用开平方法解的一元二次方程有什么特点？

22.2.1 直接开平方法篇3

　　直接开平方法

　　理解一元二次方程“降次”——转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题.

　　提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2＋c＝0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a(ex＋f)2＋c＝0型的一元二次方程.

　　重点

　　运用开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程，领会降次——转化的数学思想.

　　难点

　　通过根据平方根的意义解形如x2＝n的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程.

　　一、复习引入

　　学生活动：请同学们完成下列各题.

　　问题1：填空

　　(1)x2－8x＋________＝(x－________)2；(2)9x2＋12x＋________＝(3x＋________)2；(3)x2＋px＋________＝(x＋________)2.

　　解：根据完全平方公式可得：(1)16　4；(2)4　2；(3)(p2)2　p2.

　　问题2：目前我们都学过哪些方程？二元怎样转化成一元？一元二次方程与一元一次方程有什么不同？二次如何转化成一次？怎样降次？以前学过哪些降次的方法？

　　二、探索新知

　　上面我们已经讲了x2＝9，根据平方根的意义，直接开平方得x＝±3，如果x换元为2t＋1，即(2t＋1)2＝9，能否也用直接开平方的方法求解呢？

　　(学生分组讨论)

　　老师点评：回答是肯定的，把2t＋1变为上面的x，那么2t＋1＝±3

　　即2t＋1＝3，2t＋1＝－3

　　方程的两根为t1＝1，t2＝－2

　　例1　解方程：(1)x2＋4x＋4＝1　(2)x2＋6x＋9＝2

　　分析：(1)x2＋4x＋4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为(x＋2)2＝1.

　　(2)由已知，得：(x＋3)2＝2

　　直接开平方，得：x＋3＝±2

　　即x＋3＝2，x＋3＝－2

　　所以，方程的两根x1＝－3＋2，x2＝－3－2

　　解：略.

　　例2　市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10 m2提高到14.4 m2，求每年人均住房面积增长率.

　　分析：设每年人均住房面积增长率为x，一年后人均住房面积就应该是10＋10x＝10(1＋x)；二年后人均住房面积就应该是10(1＋x)＋10(1＋x)x＝10(1＋x)2

　　解：设每年人均住房面积增长率为x，

　　则：10(1＋x)2＝14.4

　　(1＋x)2＝1.44

　　直接开平方，得1＋x＝±1.2

　　即1＋x＝1.2，1＋x＝－1.2

　　所以，方程的两根是x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2

　　因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2＝－2.2应舍去.

　　所以，每年人均住房面积增长率应为20%.

　　(学生小结)老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？

　　共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程.我们把这种思想称为“降次转化思想”.

　　三、巩固练习

　　教材第6页　练习.

　　四、课堂小结

　　本节课应掌握：由应用直接开平方法解形如x2＝p(p≥0)的方程，那么x＝±p转化为应用直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程，那么mx＋n＝±p，达到降次转化之目的.若p＜0则方程无解.

　　五、作业布置

22.2.1 直接开平方法篇4

　　[课题] §12.2 一元二次方程的解法（1）——直接开平方法[教学目的] 使学生掌握直接开平方法，并会解某些一元二次方程；使学生会解（x－a）2=b（b≥0）型的方程，为进一步学习公式法作好准备。[教学重点] 掌握直接开平方法，并会解某些一元二次方程。[教学难点 ] 会解（x－a）2=b（b≥0）型的方程。[教学关键] 会解（x－a）2=b（b≥0）型的方程，为进一步学习公式法作好准备。[教学用具] [教学形式] 讲练结合法。[教学用时] 45′×1 [教学过程 ][复习提问] 1、什么叫做整式方程？（方程两边都是关于未知数的整式，叫做整式方程。）2、什么样的方程叫做一元一次方程？什么样的方程叫做一元二次方程？（在整式方程中，只含一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的方程叫做一元一次方程；在整式方程中，只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程。）3、说明一元一次方程与一元二次方程的相同点和不同点？（都是整式方程，并且都含有一个未知数，这是它们的相同点；它们的不同点是未知数的次数，一个是一次，一个是二次。）4、一元二次方程的一般形式是什么？其中a应具备什么条件？（一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0，其中a应不等于零。因为a=0，则方程ax2+bx+c=0就不是一元二次方程了。）5、x2－4=0是一元二次方程吗？其中二次项的系数、一次项的系数、常数项各是什么？（是。二次项系数是1、一次项系数是0、常数项是－4。）[讲解新课]我们来解方程：x2－4=0。先移项，得：x2=4。（这里，一个数x的平方等于4，这个数x叫做4的什么？——这个数x叫做4的平方根或二次方根；一个正数有几个平方根？——一个正数有两个平方根，它们互为相反数；求一个数的平方根的运算叫做什么？——叫做开平方。）上面的x2=4，实际上就是求4的平方根。因此，x=± 即，x1=2，x2=－2。讲（或提问）到此，指出：这种解某些一元二次方程的方法叫做直接开平方法。提问：用直接开平方法解下列方程：1、x2－144=0； 2、x2－3=0；3、x2+16=0； 4、x2=0。（1、x1=12，x2=－12；2、x1=，x2=－；3、无解——负数没有平方根；4、x=0——0有一个平方根，它是0本身）。例2 解方程：（x+3）2=2。说明与分析：此例要求解出方程的根，同时通过此例的学习也为进一步解公式法作准备。实际上，我们将用此例以及类似的题目推导出一元二次方程的另一解法——配方法。可以看出，原方程中x+3是2的平方根，解：x+3=± 即：x1=－3+ ，或x2=－3－。∴ x1=－3+ ，x2=－3－。提问：解下列方程：1、（x+4）2=3； 2、（3x+1）2=－3。（1、x1=－4+ ，x2=－4－。2、无解。）[课堂练习]教科书第7页练习1，2题。[课堂小结]直接开平方法可解下列类型的一元二次方程：x2=b（b≥0）；（x－a）2=b（b≥0）。根据平方根的定义，要特别注意：由于负数没有平方根，所以，上列两式中的b≥0，当b＜0时，方程无解。[课外作业 ]教科书第15习题12.1A组第1，2题。对学有余力的学生可做B组第1题。 [板书设计 ]课题：例题：辅助板书： [课后记]