22.2.2 配方法（精选4篇）九年级数学教案

98e范文网时间：2024-12-06

22.2.2 配方法（精选4篇）

22.2.2 配方法篇1

　　教学内容

　　间接即通过变形运用开平方法降次解方程.

　　教学目标

　　理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题.

　　通过复习可直接化成x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤.

　　重难点关键

　　1.重点：讲清“直接降次有困难，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤.

　　2.难点与关键：不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧.

　　教学过程

　　一、复习引入

　　（学生活动）请同学们解下列方程

　　（1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9

　　老师点评：上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的形式，那么可得x=± 或mx+n=± （p≥0）.

　　如：4x2+16x+16=（2x+4）2

　　二、探索新知

　　列出下面二个问题的方程并回答：

　　（1）列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？

　　（2）能否直接用上面三个方程的解法呢？

　　问题1：印度古算中有这样一资骸耙蝗汉镒臃至蕉樱吒咝诵嗽谟蜗罚?八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮，告我总数共多少，两队猴子在一起”.

　　大意是说：一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的的平方，另一队猴子数是12，那么猴子总数是多少？你能解决这个问题吗？

　　问题2：如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上，修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路，余下的六个相同的部分作为耕地，要使得耕地的面积为5000m2，道路的宽为多少？

　　老师点评：问题1：设总共有x只猴子，根据题意，得：x=（ x）2+12

　　整理得：x2-64x+768=0

　　问题2：设道路的宽为x，则可列方程：（20-x）（32-2x）=500

　　整理，得：x2-36x+70=0

　　（1）列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有x的完全平方式而后二个不具有.

　　（2）不能.

　　既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面，我们就来讲如何转化：

　　x2-64x+768=0 移项→ x=2-64x=-768

　　两边加（）2使左边配成x2+2bx+b2的形式 → x2-64x+322=-768+1024

　　左边写成平方形式 → （x-32）2=256 降次→x-32=±16 即 x-32=16或x-32=-16

　　解一次方程→x1=48，x2=16

　　可以验证：x1=48，x2=16都是方程的根，所以共有16只或48只猴子.

　　学生活动：

　　例1.按以上的方程完成x2-36x+70=0的解题.

　　老师点评：x2-36x=-70，x2-36x+182=-70+324，（x-18）2=254，x-18=± ，x-18= 或x-18=- ，x1≈34，x2≈2.

　　可以验证x1≈34，x2≈2都是原方程的根，但x≈34不合题意，所以道路的宽应为2.

　　例2.解下列关于x的方程

　　（1）x2+2x-35=0 （2）2x2-4x-1=0

　　分析：（1）显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；（2）同上.

　　解：（1）x2-2x=35 x2-2x+12=35+1 （x-1）2=36 x-1=±6

　　x-1=6，x-1=-6

　　x1=7，x2=-5

　　可以，验证x1=7，x2=-5都是x2+2x-35=0的两根.

　　（2）x2-2x- =0 x2-2x=

　　x2-2x+12= +1 （x-1）2=

　　x-1=± 即x-1= ，x-1=-

　　x1=1+ ，x2=1-

　　可以验证：x1=1+ ，x2=1- 都是方程的根.

　　三、应用拓展

　　例3.如图，在rt△acb中，∠c=90°，ac=8m，cb=6m，点p、q同时由a，b两点出发分别沿ac、bc方向向点c匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后△pcq的面积为rt△acb面积的一半.

　　分析：设x秒后△pcq的面积为rt△abc面积的一半，△pcq也是直角三角形.根据已知列出等式.

　　解：设x秒后△pcq的面积为rt△acb面积的一半.

　　根据题意，得：（8-x）（6-x）= × ×8×6

　　整理，得：x2-14x+24=0

　　（x-7）2=25即x1=12，x2=2

　　x1=12，x2=2都是原方程的根，但x1=12不合题意，舍去.

　　所以2秒后△pcq的面积为rt△acb面积的一半.

　　四、归纳小结

　　本节课应掌握：

　　左边不含有x的完全平方形式，左边是非负数的一元二次方程化为左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程.

　　五、作业设计

　　一、选择题

　　1.将二次三项式x2-4x+1配方后得（）.

　　a.（x-2）2+3 b.（x-2）2-3 c.（x+2）2+3 d.（x+2）2-3

　　2.已知x2-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（）.

　　a.x2-8x+（-4）2=31 b.x2-8x+（-4）2=1

　　c.x2+8x+42=1 d.x2-4x+4=-11

　　3.如果mx2+2（3-2m）x+3m-2=0（m≠0）的左边是一个关于x的完全平方式，则m等于（）.

　　a.1 b.-1 c.1或9 d.-1或9

　　二、填空题

　　1.方程x2+4x-5=0的解是________.

　　2.代数式的值为0，则x的值为________.

　　3.已知（x+y）（x+y+2）-8=0，求x+y的值，若设x+y=z，则原方程可变为_______，所以求出z的值即为x+y的值，所以x+y的值为______.

　　三、综合提高题

　　1.已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2-4x+3=0的解，求这个三角形的周长.

　　2.如果x2-4x+y2+6y+ +13=0，求（xy）z的值.

　　3.新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达5000元，每台冰箱的定价应为多少元？

　　答案:

　　一、1.b 2.b 3.c

　　二、1.x1=1，x2=-5 2.2 3.z2+2z-8=0，2，-4

　　三、1.（x-3）（x-1）=0，x1=3，x2=1，∴三角形周长为9（∵x2=1，∴不能构成三角形）

　　2.（x-2）2+（y+3）2+ =0，∴x=2，y=-3，z=-2，（xy）z=（-6）-2=

　　3.设每台定价为x，则：（x-2500）（8+ ×4）=5000，x2-5500x+7506250=0，解得x=2750

　　22.2.2 配方法

　　教学内容

　　给出配方法的概念，然后运用配方法解一元二次方程.

　　教学目标

　　了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤.

　　通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配方法解决一些具体题目.

　　重难点关键

　　1.重点：讲清配方法的解题步骤.

　　2.难点与关键：把常数项移到方程右边后，两边加上的常数是一次项系数一半的平方.

　　教学过程

　　一、复习引入

　　（学生活动）解下列方程：

　　（1）x2-8x+7=0 （2）x2+4x+1=0

　　老师点评：我们前一节课，已经学习了如何解左边含有x的完全平方形式，右边是非负数，不可以直接开方降次解方程的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行解题.

　　解：

　　（1）x2-8x+（-4）2+7-（-4）2=0 （x-4）2=9 x-4=±3即x1=7，x2=1

　　（2）x2+4x=-1 x2+4x+22=-1+22 （x+2）2=3即x+2=± x1= -2，x2=- -2

　　二、探索新知

　　像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法.

　　可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解.

　　例1.解下列方程

　　（1）x2+6x+5=0 （2）2x2+6x-2=0 （3）（1+x）2+2（1+x）-4=0

　　分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方.

　　解：（1）移项，得：x2+6x=-5

　　配方：x2+6x+32=-5+32（x+3）2=4

　　由此可得：x+3=±2，即x1=-1，x2=-5

　　（2）移项，得：2x2+6x=-2

　　二次项系数化为1，得：x2+3x=-1

　　配方x2+3x+（）2=-1+（）2（x+ ）2=

　　由此可得x+ =± ，即x1= - ，x2=- -

　　（3）去括号，整理得：x2+4x-1=0

　　移项，得x2+4x=1

　　配方，得（x+2）2=5

　　x+2=± ，即x1= -2，x2=- -2

　　三、应用拓展

　　例2.用配方法解方程（6x+7）2（3x+4）（x+1）=6

　　分析：因为如果展开（6x+7）2，那么方程就变得很复杂，如果把（6x+7）看为一个数y，那么（6x+7）2=y2，其它的3x+4= （6x+7）+ ，x+1= （6x+7）- ，因此，方程就转化为y的方程，像这样的转化，我们把它称为换元法.

　　解：设6x+7=y

　　则3x+4= y+ ，x+1= y-

　　依题意，得：y2（ y+ ）（ y- ）=6

　　去分母，得：y2（y+1）（y-1）=72

　　y2（y2-1）=72， y4-y2=72

　　（y2- ）2=

　　y2- =±

　　y2=9或y2=-8（舍）

　　∴y=±3

　　当y=3时，6x+7=3 6x=-4 x=-

　　当y=-3时，6x+7=-3 6x=-10 x=-

　　所以，原方程的根为x1=- ，x2=-

　　四、归纳小结

　　本节课应掌握：

　　配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤.

　　五、作业

　　一、选择题

　　1.配方法解方程2x2- x-2=0应把它先变形为（）.

　　a.（x- ）2= b.（x- ）2=0

　　c.（x- ）2= d.（x- ）2=

　　2.下列方程中，一定有实数解的是（）.

　　a.x2+1=0 b.（2x+1）2=0

　　c.（2x+1）2+3=0 d.（ x-a）2=a

　　3.已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z的值是（）.

　　a.1 b.2 c.-1 d.-2

　　二、填空题

　　1.如果x2+4x-5=0，则x=_______.

　　2.无论x、y取任何实数，多项式x2+y2-2x-4y+16的值总是_______数.

　　3.如果16（x-y）2+40（x-y）+25=0，那么x与y的关系是________.

　　三、综合提高题

　　1.用配方法解方程.

　　（1）9y2-18y-4=0 （2）x2+3=2 x

　　2.已知：x2+4x+y2-6y+13=0，求的值.

　　3.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件.

　　①若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？

　　②每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？请你设计销售方案.

　　答案:

　　一、1.d 2.b 3.b

　　二、1.1，-5 2.正 3.x-y=

　　三、1.（1）y2-2y- =0，y2-2y= ，（y-1）2= ，y-1=± ，y1= +1，y2=1-

　　（2）x2-2 x=-3 （x- ）2=0，x1=x2=

　　2.（x+2）2+（y-3）2=0，x1=-2，y2=3，∴原式=

　　3.（1）设每件衬衫应降价x元，则（40-x）（20+2x）=1200，x2-30x+200=0，x1=10，x2=20

　　（2）设每件衬衫降价x元时，商场平均每天赢利最多为y，则y=-2x2+60x+800=-2（x2-30x）+800=-2[（x-15）2-225]+800=-2（x-15）2+1250 ∵-2（x-15）2≤0，∴x=15时，赢利最多，y=1250元.答：略

22.2.2 配方法篇2

　　配方法的基本形式

　　理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题.

　　通过复习可直接化成x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的一元二次方程的解题步骤.

　　重点

　　讲清直接降次有困难，如x2＋6x－16＝0的一元二次方程的解题步骤.

　　难点

　　将不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧.

　　一、复习引入

　　(学生活动)请同学们解下列方程：

　　(1)3x2－1＝5　(2)4(x－1)2－9＝0　(3)4x2＋16x＋16＝9　(4)4x2＋16x＝－7

　　老师点评：上面的方程都能化成x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，那么可得

　　x＝±p或mx＋n＝±p(p≥0).

　　如：4x2＋16x＋16＝(2x＋4)2，你能把4x2＋16x＝－7化成(2x＋4)2＝9吗？

　　二、探索新知

　　列出下面问题的方程并回答：

　　(1)列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？

　　(2)能否直接用上面前三个方程的解法呢？

　　问题：要使一块矩形场地的长比宽多6 m，并且面积为16 m2，求场地的长和宽各是多少？

　　(1)列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有x的完全平方式而后二个不具有此特征.

　　(2)不能.

　　既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面，我们就来讲如何转化：

　　x2＋6x－16＝0移项→x2＋6x＝16

　　两边加(6/2)2使左边配成x2＋2bx＋b2的形式→x2＋6x＋32＝16＋9

　　左边写成平方形式→(x＋3)2＝25降次→x＋3＝±5即x＋3＝5或x＋3＝－5

　　解一次方程→x1＝2，x2＝－8

　　可以验证：x1＝2，x2＝－8都是方程的根，但场地的宽不能是负值，所以场地的宽为2 m，长为8 m.

　　像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法.

　　可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解.

　　例1　用配方法解下列关于x的方程：

　　(1)x2－8x＋1＝0　(2)x2－2x－12＝0

　　分析：(1)显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；(2)同上.

　　解：略.

　　三、巩固练习

　　教材第9页　练习1，2.(1)(2).

　　四、课堂小结

　　本节课应掌握：

　　左边不含有x的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程.

　　五、作业布置

22.2.2 配方法篇3

　　[课题] §12.2 一元二次方程的解法（2）——配方法[教学目的] 使学生掌握配方法的推导过程，能够熟练地进行配方；使学生会用配方法解数字系数的一元二次方程。[教学重点] 掌握配方法的推导过程，能够熟练地进行配方。[教学难点 ] 掌握配方法的推导过程，能够熟练地进行一元二次方程一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）的配方。[教学关键] 会用配方法解数字系数的一元二次方程。[教学用具] [教学形式] 讲练结合法。[教学用时] 45′×1 [教学过程 ][复习提问] 1、在（x+3）2=2中，x+3与2的关系是什么？（x+3是2的平方根。）2、试将方程的左边展开、移项、合并同类项。（x2+6 x+9=2，x2+6 x+7=0。）[讲解新课]现在，我们来研究方程：x2+6 x+7=0的解法。我们知道，方程：x2+6 x+7=0是由方程：（x+3）2=2变形得到的，因此，要解方程：x2+6 x+7=0应当如何变形？这里要求学生做尝试回答：要解方程：x2+6x+7=0，最好将其变形为：（x+3）2=2。这是因为，我们会用直接开平方法解方程：（x+3）2=2了。下面重点研究如何将方程：x2+6 x+7=0，变形为：（x+3）2=2。这里，不是只研究这一道题解法的问题，而是注意启发学生找出一般性规律。将方程：x2+6 x+7=0的常数项移到右边，并将一次项6x改写成2·x·3，得：x2+2·x·3=－7。由此可以看出，为使左边成为完全平方式，只需在方程两边都加上32，即：x2+2·x·3+32=－7+32，（x+3）2=2。解这个方程，得：x1=－3+ ，x2=－3－。随后提出：这种解一元二次方程的方法叫做配方法。很明显，掌握这种方法的关键是“配方”。上述引例以及列3，二次项系数都是1，而例4，二次项的系数不是1，这时，要将方程的两边都除以二次项的系数，就把该方程的二次项系数变成1了。这样，“配方”就容易了。让学生做练习：1、x2+6x+ =（x+ ）2；（9，3）2、x2－5x+ =（x－）2；（，）3、x2+ x+ =（x+ ）2；（，）例3 解方程：x2－4 x－3=0。解：略。例4 解方程：2x2+3=7 x。解：略。说明：在讲解完这两个例题之后，一方面是利用“配方法”求出一元二次方程的解，另一方面是通过求解过程使学生掌握“配方”的方法。讲解应突出重点，对容易出错的地主应给予较多的讲解。如例4的解方程：2x2+3=7 x，在“分析”中指出，应先把这个方程化成一般形式：2x2－7 x +3=0。其次，这个方程的二次项系数是2，为了便于配方，可把二次项系数化为1，为此，把方程的各项都除以2，并移项，得：x2－ x=－；下一步应是配方。这里，一次项的系数是（－），它的一半的平方是（－）2。学生在这里容易出错。讲解时，应提醒学生注意。我们知道，配方法解一元二次方程是比较麻烦的，在实际解一元二次方程时，一般不用配方法，而用公式法。但是，配方法是导出公式法——求根公式的关键，在以后的学习中，会常常用到配方法，所以掌握这个数学方法是重要的。[课堂练习]教科书第10页练习第1，2题。[课堂小结]这堂课我们主要学习了用配方法解数字系数的一元二次方程，配方的关键是：在方程的两边都加上一次项系数一半的平方。请同学们回去后，用配方法解一下关于x的方程：ax2+bx+c=0（a≠0）。（此题为下一课讲解作准备，可指定一些同学做，从中了解在公式推导过程中存在的问题。）[课外作业 ]教科书第15页习题12.1A组第3，4题。[板书设计 ]